Question

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞0.
(1)若a₂－a₁＝8，a₃＝m.①当m＝48时，求数列{a_n}的通项公式；②若数列{a_n}是唯一的，求m的值；
(2)若a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－(a_k＋a_k－1＋…＋a₁)＝8，k∈N^*，求a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值．

Answer 1

（1）见解析（2）32

设公比为q，则由题意，得q＞0.
(1)①由a₂－a₁＝8，a₃＝m＝48，得
解之，得或 
所以数列{a_n}的通项公式为
a_n＝8(2－)(3＋)^n－1，或a_n＝8(2＋)(3－)^n－1.
②要使满足条件的数列{a_n}是唯一的，即关于a₁与q的方程组有唯一正数解，即方程8q²－mq＋m＝0有唯一解．
由Δ＝m²－32m＝0，a₃＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.
经检验，当m＝32时，数列{a_n}唯一，其通项公式是a_n＝2^n＋2.
(2)由a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－(a_k＋a_k－1＋…＋a₁)＝8，
得a₁(q^k－1)(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)＝8，且q＞1.
a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k＝a₁q^2k(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)＝＝8
≥32，
当且仅当q^k－1＝，即q＝，a₁＝8(－1)时，
a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值为32