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已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足8Sna+4an+3(n∈N*),且a1a2a7依次是等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;
(2)是否存在常数a>0且a≠1,使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(1)an=4n-3,bn=5n-1.(2)
(1)n=1时,8a1+4a1+3,a1=1或a1=3.(2分)
n≥2时,8Sn-1+4an-1+3,
anSnSn-1(+4an-4an-1),
从而(anan-1)(anan-1-4)=0
因为{an}各项均为正数,所以anan-1=4.(6分)
所以,当a1=1时,an=4n-3;当a1=3时,an=4n-1.
又因为当a1=1时,a1a2a7分别为1,5,25,构成等比数列,
所以an=4n-3,bn=5n-1.
a1=3时,a1a2a7分别为3,7,27,不构成等比数列,舍去.(11分)
(2)假设存在a,理由如下:(12分)
由(1)知,an=4n-3,bn=5n-1,从而
an-lonabn=4n-3-loga5n-1=4n-3-(n-1)·loga5=(4-loga5)n-3+loga5.
由题意,得4-loga5=0,所以a.(16分)
练习册系列答案
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