Question

16．设数列{a_n}（n=1，2，3…）的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₃，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；  
（Ⅱ）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由已知S_n=2a_n-a₃，有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2）从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
故a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．