Question

6．已知$sinα=-\frac{4}{5}$，$π＜α＜\frac{3π}{2}$，则$cos\frac{α}{2}$的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由角的范围可得sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，利用二倍角公式可得2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{4}{5}$，又由同角三角函数基本关系式可得sin²$\frac{α}{2}$+cos²$\frac{α}{2}$=1，联立即可解得cos$\frac{α}{2}$的值．

解答 解：∵$π＜α＜\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，可得：sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∵$sinα=-\frac{4}{5}$，可得：2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{4}{5}$，①，
又∵sin²$\frac{α}{2}$+cos²$\frac{α}{2}$=1，②
∴①+②解得：sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，②-①解得：sin$\frac{α}{2}$-cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴两式相减可得cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．