Question

18．已知cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）．则sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{24+7\sqrt{3}}{50}$．

Answer 1

分析 由已知等式利用两角差的余弦函数公式可求cosx+sinx=$\frac{1}{5}$，两边平方可解得sin2x，由2x∈（π，$\frac{3π}{2}$），利用同角三角函数基本关系式可求cos2x，利用两角和的正弦函数公式化简所求后计算即可求值得解．

解答 解：∵cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx+sinx）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴可得：cosx+sinx=$\frac{1}{5}$，两边平方可得：1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，解得：sin2x=-$\frac{24}{25}$，
∵x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）．2x∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos2x=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2x}$=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}×（-\frac{24}{25}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{7}{25}）$=-$\frac{24+7\sqrt{3}}{50}$．
故答案为：-$\frac{24+7\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．