Question

10．已知椭圆$Γ：\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，若Γ与圆E：${x^2}+{（{y-\frac{3}{2}}）^2}=1$相交于M，N两点，且圆E在Γ内的弧长为$\frac{2}{3}π$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过椭圆Γ的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆Γ于A，B、C，D，求证：$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圆E的圆心和半径，由弧长公式可得圆心角，由任意角的三角函数的定义可得M的坐标，代入椭圆方程，运用离心率公式可得a，b；
（Ⅱ）求出椭圆的方程和准线方程，讨论直线AB的斜率，结合直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和椭圆的第二定义，求得弦长，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）圆E：${x^2}+{（{y-\frac{3}{2}}）^2}=1$的圆心为（0，$\frac{3}{2}$），半径为r=1，
圆E在Γ内的弧长为$\frac{2}{3}π$，可得∠NEN•r=$\frac{2π}{3}$，
即有∠NEN=$\frac{2π}{3}$，设M在第一象限，可得
x_M=rsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y_M=$\frac{3}{2}$-rcos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
即为M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），代入椭圆方程可得$\frac{3}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1；
（Ⅱ）证明：椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1，c=$\sqrt{3}$，上准线方程为y=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
上焦点为（0，$\sqrt{3}$），e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当直线AB的斜率为0，可得|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，
|CD|=2a=4，则$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$；
当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=kx+$\sqrt{3}$（k≠0），则 CD：y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$，
又设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y并化简得（4+k²）x²+2$\sqrt{3}$kx-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{4+{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{4+{k}^{2}}$，
即有|AB|=e（$\frac{8}{\sqrt{3}}$-y₁-y₂）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（$\frac{8}{\sqrt{3}}$-$\frac{8\sqrt{3}}{4+{k}^{2}}$）=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$，
将k换为-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$，
即有$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{4+{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$+$\frac{4{k}^{2}+1}{4（{k}^{2}+1）}$=$\frac{5}{4}$．
综上可得：$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$为定值$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查椭圆的参数的求法，注意运用圆的有关知识，考查定值的证明，注意运用直线方程和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．