Question

20．已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（1）求证：数列{a_n+1}为等比数列；  
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+1变形为：a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由${a_n}={2^n}-1$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：由a_n=2a_n-1+1变形为：a_n+1=2a_n-1+2，即a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项以2为公比的等比数列；
（2）解：∵${a_n}={2^n}-1$，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n$
=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．