Question

10．已知正三棱椎的棱长为3，则它的内切球的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{8}π$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}π$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}π$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}π$

Answer 1

分析 连结球心与三棱锥的顶点，则将三棱锥分解成四个高为内切球半径的小三棱锥，利用体积相等列出方程解出内切球半径．

解答 解：∵正三棱椎的棱长为3，∴正三棱锥的高为$\sqrt{6}$．
∴正三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×\sqrt{6}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
设内切球的半径为r，则球心到三棱锥四个面的距离均为r，
∴连结球心与三棱锥的四个顶点，则将正三棱锥分解成四个底面相等，高为r的小三棱锥．
∴4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×r$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．解得r=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴内切球的体积为$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{8}π$．
故选：A．

点评 本题考查了棱锥与球的关系，棱锥的结构特征，使用分解法求体积是常用方法．