Question

5．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点，P在椭圆上，且△PF₁F₂的面积为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2}$，则cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，再由三角形面积利用正弦定理求出1-cosθ=$\sqrt{2}sinθ$，由此利用sin²θ+cos²θ=1，能求出cosθ．

解答 解：∵F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点，
P在椭圆上，且△PF₁F₂的面积为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}+2|P{F}_{1}|•{|PF}_{2}|=4{a}^{2}}\\{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|cos{∠F}_{1}P{F}_{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，
整理，得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{2{b}^{2}}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$，
∵△PF₁F₂的面积为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{2{b}^{2}}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$×sin∠F₁PF₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}{b}^{2}$，
∴1-cos∠F₁PF₂=$\sqrt{2}$sin∠F₁PF₂，
∵sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，∴cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、余弦定理的合理运用．