Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1），A（0，4），B（n，t），C（t，ksinθ）θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）若$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{a}$，且$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$|（O为原点），求向量$\overrightarrow{AB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，求t关于θ的函数；
（3）求tsinθ取得最大值1（k≥2）时的$\overrightarrow{AC}$．

Answer 1

分析 （1）求出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OA}$的坐标和模长，根据条件列方程解出n，t；
（2）写出$\overrightarrow{AC}$的坐标，根据向量共线列出等式整理；
（3）根据sinθ的范围和最值判断t和sinθ的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（n，t-4），$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{{n}^{2}+（t-4）^{2}}$，$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2}$．
∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{a}$，且$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-t+4=0}\\{\sqrt{{n}^{2}+（t-4）^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{2}}\\{t=4+\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=-\sqrt{2}}\\{t=4-\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
（2）$\overrightarrow{AC}$=（t，ksinθ-4），
∵$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{a}$，
∴t+ksinθ-4=0，
∴t=4-ksinθ．θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（3）∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinθ∈[0，1]．
∵tsinθ有最大值1，∴t=1．此时sinθ=1．
∴C（1，k）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，k-4）．

点评 本题考查了平面向量垂直，共线与数量积的关系，正弦函数的性质，属于基础题．