Question

4．为了研究某校的高三市三模的文科数学成绩，现随机抽取了60名学生的数学成绩进行分析，现将成绩按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…，第六组[130，140），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该校高三年级文科数学成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）从成绩在[110，130）的同学中用分层抽样的方法抽取5位同学，并从这5位同学中任选2人跟数学老师参与信息反馈，求选中2位数学成绩不在同一组的同学的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图的性质能求出a．
（2）由频率分布直方图的性质得[110，120）小矩形最高，能估计该校高三年级文科数学成绩的众数；由频率分布直方图的性质能估计该校高三年级文科数学平均成绩．
（3）由题意得[110，120）中有18人，[120，130）中有12人，从成绩在[110，130）的同学中用分层抽样的方法抽取5位同学，其中成绩在[110，120）内的有3人，[120，130）内的有2人，由此能求出选中2位数学成绩不在同一组的同学的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图的性质得：
（0.015+0.010+a+0.03+a+0.005）×10=1，
解得a=0.02．
（2）由频率分布直方图的性质得[110，120）小矩形最高，
估计该校高三年级文科数学成绩的众数为115，
估计该校高三年级文科数学成绩的众数和平均成绩为：
85×0.015×10+95×0.010×10+105×0.020×10+115×0.03×10+125×0.020×10+135×0.005×10=109.5．
（3）由题意得[110，120）中有0.03×10×60=18人，[120，130）中有0.020×10×60=12人，
从成绩在[110，130）的同学中用分层抽样的方法抽取5位同学，
其中成绩在[110，120）内的有$5×\frac{18}{18+12}$=3人，[120，130）内的有5×$\frac{12}{18+12}$=2人，
从这5位同学中任选2人跟数学老师参与信息反馈，
基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
选中2位数学成绩不在同一组的同学包含的基本事件有m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6，
∴选中2位数学成绩不在同一组的同学的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．