Question

12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a-b+c）=-ac，AB=$\sqrt{2}$，A的角平分线AD=$\sqrt{3}$．
（1）求角B；
（2）边AC的长．

Answer 1

分析 （1）化简已知等式可得a²+c²-b²=-ac，利用余弦定理可求cosB，结合B的范围，即可得解B的值．
（2）由已知及正弦定理可求sin∠BDA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而求得∠BDA，∠BAD，进而可求∠BAC，∠BCA，解得AB=BC=$\sqrt{2}$，利用余弦定理可求AC的值．

解答 解：（1）因为，（a+b+c）（a-b+c）=-ac．所以a²+c²-b²=-ac．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），
因此B=120°．
（2）在△ABD中，由正弦定理可知$\frac{AD}{sin120°}$=$\frac{AB}{sin∠BDA}$，即$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{sin∠BDA}$，
所以sin∠BDA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即∠BDA=45°，所以∠BAD=15°，
又因为AD为角A的角平分线，所以∠BAC=30°，∠BCA=30°，即AB=BC=$\sqrt{2}$，
由余弦定理可知：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=2+2-2×$\sqrt{2}×\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）$=6，
所以AC=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形角平分线的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．