Question

3．已知O为三角形ABC内一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．若△OAB的面积与△OAC的面积比值为$\frac{1}{3}$，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 取BC，AB的中点D，E，由向量加法的几何意义可得2λ$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AC}$，故O在中位线DE上，根据三角形的面积比得出λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．∴λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{AC}$．
取BC的中点D，AB的中点E，则2λ$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴O在线段DE上．且2λOD=AC=2DE，∴λ=$\frac{DE}{OD}$．
设OD=1，则DE=λ，∴OE=λ-1．
∵$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{ABD}}=\frac{OE}{DE}=\frac{λ-1}{λ}$，S_△ABD=S_△AOC=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}=\frac{λ-1}{λ}$=$\frac{1}{3}$，解得$λ=\frac{3}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．