Question

判断下列各命题：
①若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
②函数y=sin（

2

3

x+

7π

2

）是偶函数；
③将函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位长度，得到函数y=sin（2x+

π

4

）的图象；
④若cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0
其中正确的命题为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：通过举反例可得①错误，利用三角恒等变换以及余弦函数的奇偶性可得②正确，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得③错误，利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式可得④正确，从而得出结论．

解答： 解：由于α，β是第一象限角，且α＞β，不妨设α=2π+

π

6

，β=

π

6

，显然不满足cosα＜cosβ，故①错误．
由于函数y=sin（

2

3

x+

7π

2

）=sin（

2

3

x+4π-

π

2

）=-sin（

π

2

-

2

3

x）=-cos

2

3

x，显然是偶函数，故②正确．
由于将函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位长度，得到函数y=sin2（x+

π

4

）=cos2x的图象，故③错误．
由于cosαcosβ=1，则有cosα=cosβ=1，或cosα=cosβ=-1，∴sinα=sinβ=0，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=0，故④正确，
故答案为：②④．

点评：本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式．通过举反例排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．