Question

【题目】各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，.各项均为正数的等比数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若，数列的前项和.

①求；

②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②.

【解析】

（1）令可求得，再令，由得，两式作差并结合已知条件得出，结合可知数列是等差数列，确定数列的首项和公差，可求得，并根据已知条件求出等比数列的首项和公比，由此可求得；

（2）①求得，利用错位相减法可求得；

②由题意可得对任意的且恒成立，由参变量分离法得，构造数列，利用定义判断数列的单调性，求得数列的最大项，由此可得出实数的取值范围.

（1）对任意的，.

当时，，即，解得；

当时，由得，

两式作差得，即，

又因为数列各项均为正数，则，所以，，

又，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，

.

设等比数列的公比为，则，，，.

；

（2）①，，

，

上述两式作差得，

因此，；

②由题意可知对任意的且恒成立，

，即恒成立，

设，，

当时，，此时数列单调递增，即；

当时，，此时数列单调递减，即.

所以，数列中最大项为，.

因此，实数的取值范围是.