Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．

（1）求证：平面PAD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，

∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴PA=AB，AN=AN，∠PAN=∠BAN，

∴△PNA≌△BNA，则BN⊥AD，

∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，

又AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面PNB

（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴PN=NB= ，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，

∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥BN，

∴S△PNB= × × = ，

∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，

∵PM=2MC，∴VP﹣NBM=VM﹣PNB= VC﹣PNB= × × ×2= ．

【解析】（1）由题意证明△PNA≌△BNA，得到BN⊥AD，再由线面垂直的判定证得AD⊥平面PNB，最后由面面垂直的判定得答案；（2）由面面垂直的性质得到PN⊥平面ABCD，进一步得到PN⊥BN，再由等积法把三棱锥P﹣NBM的体积转化为棱锥C﹣PNB的体积求解．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．