Question

11．三棱锥A-BCD中，E是BC的中点，且BD=8，CD=6，BC=10，AB=AD=4$\sqrt{2}$．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若二面角A-BD-C的余弦值为$\frac{3}{4}$，求AD与平面BCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BD的中点F，连结EF，AF，由勾股定理和中位线定理可得BD⊥EF，由AB=AD可得AF⊥BD，于是BD⊥平面AEF，从而BD⊥AE；
（2）计算AF，EF，由余弦定理计算AE，从而可得AE⊥EF，结合AE⊥BD可得AE⊥平面BCD，故而∠ADE为所求角，于是tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$．

解答 （1）证明：取BD的中点F，连结EF，AF，
∵AD=AB，F是BD的中点，∴AF⊥BD，
∵CD=6，BD=8，BC=10，
∴CD²+BD²=BC²，∴CD⊥BD，
∵E，F分别是BC，BD的中点，
∴EF∥CD，
∴BD⊥EF，又AF∩EF=F，
∴BD⊥平面AEF，
∵AE?平面AEF，
∴AE⊥BD．
（2）解：由（1）可知BD⊥AF，BD⊥EF，
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，即cos∠AFE=$\frac{3}{4}$，
∵EF=$\frac{1}{2}$CD=3，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}-2AF•EF•cos∠AFE}$=$\sqrt{7}$，
∴AE²+EF²=AF²，∴AE⊥EF，
又AE⊥BD，BD∩EF=F，
∴AE⊥平面BCD，
∴∠ADE为AD与平面BCD所成的角，
又△BCD是直角三角形，∴DE=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{\sqrt{7}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算，属于中档题．