Question

【题目】已知椭圆的焦点在轴上，且椭圆的焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点， 为椭圆的右焦点，求证：三点在同一条直线上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题（Ⅰ）由焦距为2可得，解方程得的值，即可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，点，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得， ，直线方程为，结合点在上，用， 代替， ，化简整理直线方程为，令，整理得，得证.

试题解析：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在轴上，

∴，即，

∵椭圆的焦距为2，且，

∴，解得，

∴椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，

设的方程为，点，

则得，

即， ，

， ，

由题可得直线方程为，

又∵， ，

∴直线方程为，

令，整理得

，

即直线过点，

又∵椭圆的右焦点坐标为，

∴三点在同一条直线上．