Question

2．已知△ABC的外接圆圆心为O，且∠A=60°，若$\overrightarrow{AO}=α\overrightarrow{AB}+β\overrightarrow{AC}（α，β∈R）$，则α+β的最大值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 延长AO交BC于D，设$\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，（m＞0，n＞0），由平面向量基本定理和向量共线定理可得m+n=α$\frac{|AD|}{|AO|}$+β$\frac{|AD|}{|AO|}$，由B，C，D三点共线，可得α+β=1，进而得到α+β=$\frac{1}{1+\frac{|OD|}{|OA|}}$，求出|OD|的最小值，可过O作OM⊥BC，求得|OM|即可得到所求最大值．

解答 解：延长AO交BC于D，设$\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，（m＞0，n＞0），
又$\overrightarrow{AO}=α\overrightarrow{AB}+β\overrightarrow{AC}（α，β∈R）$，
易得$\frac{m}{α}$=$\frac{n}{β}$=$\frac{|AD|}{|AO|}$即有m=α$\frac{|AD|}{|AO|}$，n=β$\frac{|AD|}{|AO|}$，
则m+n=α$\frac{|AD|}{|AO|}$+β$\frac{|AD|}{|AO|}$，
由B，C，D三点共线，可得m+n=1，
即有α+β=$\frac{|AO|}{|AD|}$=$\frac{|AO|}{|AO|+|OD|}$=$\frac{1}{1+\frac{|OD|}{|OA|}}$，
由于|AO|=r是定值，只需|OD|最小，
过O作OM⊥BC，垂足为M，则OD≥OM，
即有∠BOM=∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴cos∠BAC=$\frac{1}{2}$=$\frac{|OM|}{|OB|}$，则|OM|=$\frac{1}{2}$r．
则α+β≤$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
即有α+β的最大值为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$

点评 本题考查平面向量的基本定理的运用，主要考查向量共线定理的运用和同角的基本关系式的运用，考查运算能力，属于难题．