Question

12．已知三棱锥A-BCD内接于球O，AB=AD=AC=BD=$\sqrt{3}$，∠BCD=60°，则球O的体积为$\frac{9\sqrt{2}π}{8}$．

Answer 1

分析 如图：设G为△BCD的中心，由AB=AD=AC=BD=$\sqrt{3}$，可得AG⊥平面BCD，并且经过球的球心O．利用等边三角形与直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图：
设G为△BCD的中心，∵AB=AD=AC=BD=$\sqrt{3}$，
∴AG⊥平面BCD，并且经过球的球心O．
在等边△BCD中，GB=r=$\frac{\sqrt{3}}{2sin6{0}^{°}}$=1，
在RT△ABG中，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-G{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
设球的半径为R，
OB²=OG²+GB²，即R²=$（\sqrt{2}-R）^{2}$+1，
解得R=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{9\sqrt{2}π}{8}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{2}π}{8}$．

点评 本题考查了正三棱锥的性质、球的性质与体积计算公式、等边三角形与直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．