【题目】已知多面体如图所示.其中
为矩形,
为等腰直角三角形,
,四边形
为梯形,且
,
,
.
(1)若为线段
的中点,求证:
平面
.
(2)线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成角的余弦值等于
?若存在,请指出点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)因为,
,得
平面
,
得平面
,以
为原点,
分别为
轴,
轴,
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系求得平面
的一个法向量
,进而证得
平面
.
(2)由,求得平面
的法向量
,假设线段
上存在一点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值等于
,设
,则
,
,利用向量的运算可解得
,即可得到结论。
试题解析:
(1)因为,
,
,故
平面
,
故平面
,以
为原点,
分别为
轴,
轴,
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,所以
,易知平面
的一个法向量
,所以
,所以
,又
平面
,所以
平面
.
(2)当点与点
重合时,直线
与平面
所成角的余弦值等于
.理由如下:
直线与平面
所成角的余弦值为
,即直线
与平面
所成角的正弦值为
,因为
,设平面
的法向量为
,
由,得
,取
得平面
的一个法向量
假设线段上存在一点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值等于
,
设,则
,
,
所以,
所以,解得
或
(舍去)
因此,线段上存在一点
,当
点与
点重合时,直线
与平面
所成角的余弦值为
.
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【题目】设函数f(x)=log2(4x)log2(2x)的定义域为 . (Ⅰ)若t=log2x,求t的取值范围;
(Ⅱ)求y=f(x)的最大值与最小值,并求取得最值时对应的x的值.
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【题目】已知 ≤a≤1,若函数f(x)=ax2﹣2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)﹣N(a).
(1)求g(a)的函数表达式;
(2)判断函数g(a)在区间[ ,1]上的单调性,并求出g(a)的最小值.
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【题目】“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
附:
,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】【2014高考课标2理数18】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,
E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
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【题目】函数f(x)=loga(3﹣ax)(a>0,a≠1)
(1)当a=3时,求函数f(x)的定义域;
(2)若g(x)=f(x)﹣loga(3+ax),请判定g(x)的奇偶性;
(3)是否存在实数a,使函数f(x)在[2,3]递增,并且最大值为1,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
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