【题目】已知 ≤a≤1,若函数f(x)=ax2﹣2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)﹣N(a).
(1)求g(a)的函数表达式;
(2)判断函数g(a)在区间[ ,1]上的单调性,并求出g(a)的最小值.
【答案】
(1)解:f(x)=ax2﹣2x+1的对称轴为x= ,
∵ ≤a≤1,∴1≤
≤3,
∴f(x)在[1,3]上的最小值f(x)min=N(a)=f( )=1﹣
.
∵f(x)=ax2﹣2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),
∴①当1≤ ≤2,即
≤a≤1时,
M(a)=f(3)=9a﹣5,N(a)=f( )=1﹣
.
g(a)=M(a)﹣N(a)=9a+ ﹣6.
②当2< ≤3时.即
≤a<
时,
M(a)=f(1)=a﹣1,N(a)=f( )=1﹣
.
g(a)=M(a)﹣N(a)=a+ ﹣2.
∴g(a)=
(2)解:由(1)可知当 ≤a≤1时,g(a)=M(a)﹣N(a)=9a+
﹣6≥0,当且仅当a=
时取等号,所以它在[
,1]上单调递增;
当 ≤a<
时,g(a)=M(a)﹣N(a)=a+
﹣2≥0,当且仅当a=1时取等号,所以g(a)在[
]单调递减.
∴g(a)的最小值为g( )=9×
【解析】(1)明确f(x)=ax2﹣2x+1的对称轴为x= ,由
≤a≤1,知1≤
≤3,可知f(x)在[1,3]上单调递减,N(a)=f(
)=1﹣
.由a的符号进行分类讨论,能求出g(a)的解析式;(2)根据(1)的解答求g(a)的最值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较,以及对二次函数在闭区间上的最值的理解,了解当时,当
时,
;当
时在
上递减,当
时,
.
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【题目】选修:坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系中,曲线
(
为参数,实数
),曲线
(
为参数,实数
). 在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
与
交于
两点,与
交于
两点. 当
时,
;当
时,
.
(1)求的值; (2)求
的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,过椭圆
右焦点的直线
交椭圆
于
两点,
为
的中点,且直线
的斜率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设另一直线与椭圆
交于
两点,原点
到直线
的距离为
,求
面积的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知点
,曲线
的参数方程为
.以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)判断点与直线
的位置关系并说明理由;
(Ⅱ)设直线与曲线
的两个交点分别为
,求
的值.
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【题目】已知多面体如图所示.其中
为矩形,
为等腰直角三角形,
,四边形
为梯形,且
,
,
.
(1)若为线段
的中点,求证:
平面
.
(2)线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成角的余弦值等于
?若存在,请指出点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】【2017唐山模拟】如图,ABCDA1B1C1D1为正方体,连接BD,AC1,B1D1, CD1,B1C,现有以下几个结论:①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④CB1与BD为异面直线,其中所有正确结论的序号为________.
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【题目】若函数f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的图像是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】将直角三角形沿斜边上的高
折成
的二面角,已知直角边
,
,那么下面说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 四面体的体积是
C. 二面角的正切值是
D. 与平面
所成角的正弦值是
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