Question

【题目】有一个游戏：盒子里有个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。若甲先拿，则下列说法正确的有：

__________．

①若，则甲有必赢的策略；②若，则乙有必赢的策略；

③ 若，则乙有必赢的策略；④若，则甲有必赢的策略。

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

对每一个选项逐一判断，前面3个可以举反例说明其是错误的，对最后一个要正面分析推理.

先证明以下事实：

当遇到盒中球数为3、4、5时，先拿者赢。

证明：不妨设甲先拿，因为最后为一个球，所以当球数为3时，甲先拿1个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢。当球数为4时，甲先拿2个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢。当n=5时，甲先拿3个即可赢。

当球数5时，甲先拿3个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢。证完。

由已证命题可知①正确。

当n=6时，无论甲先拿几个球皆输。因为若甲先拿1个，则还剩5个，据上述命题这时乙必赢；若甲先拿2个，则还剩4个，据上述命题这时乙必赢；若甲先拿3个，则还剩3个，据上述命题这时乙必赢；所以②正确。

当n=7时，乙不能必赢。反例：当甲先拿1个时，还剩6个，由②知甲赢。所以③错误。

当n=9时，甲先拿3个，还剩6个，据②知甲赢。所以④正确。

综上，应填①②④.