Question

7．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A）＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，
其中|BC|=$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=$\sqrt{3}$，a=2，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由T=$\frac{4}{3}$[$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）]=π=$\frac{2π}{ω}$可求得ω，再由B（-$\frac{π}{12}$，-A），C（$\frac{5π}{12}$，A），|BC|=$\sqrt{{4A}^{2}{+（\frac{π}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，可求得A，继而可求φ，于是可求得函数f（x）的解析式；
（II）在锐角△ABC中，由f（A）=$\sqrt{3}$可求得A，又a=2，利用正弦定理及三角恒等变换可求得2$\sqrt{3}$＜b+c≤4，从而可求得△ABC周长的取值范围．

解答 解（Ⅰ）由图象可得：f（x）的周期T=$\frac{4}{3}$[$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）]=π，
即：$\frac{2π}{ω}$=π得ω，…（2分）
又由于B（-$\frac{π}{12}$，-A），C（$\frac{5π}{12}$，A），∴|BC|=$\sqrt{{4A}^{2}{+（\frac{π}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{π}^{2}}{4}+16}$，∴A=2，…（4分）
又将C（$\frac{5π}{12}$，2）代入f（x）=2sin（2x+φ），2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=2，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$解得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），…（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
解得A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{π}{2}$（舍去），…（8分）
正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 得：
b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（B+$\frac{π}{3}$）]=4sin（B+$\frac{π}{6}$），
△ABC 是锐角三角形，∴B+C=$\frac{2π}{3}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$．…（10分）
∴2$\sqrt{3}$＜b+c≤4，
∴求△ABC周长的取值范围为（2+2$\sqrt{3}$，6]．…（12分）

点评 本题考查由f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，求得A与φ的值是关键，也是难点，考查正弦定理与三角恒等变换的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．