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已知函数的定义域为,且同时满足以下三个条件:①;②对任意的,都有;③当时总有.
(1)试求的值;
(2)求的最大值;
(3)证明:当时,恒有.

(1);(2);(3).

解析试题分析:(1)抽象函数求在特殊点的值,一般用赋值法,令代入抽象函数可得,又因为,可得.(2)在定义域内求抽象函数最值,一般先判断函数单调性,再求比较定义域端点的函数值和极值点的大小.证明单调性可令,代入得进而得函数为增函数,最大值为
(3)在上证不等式,要分两段.在,所以.在,所以,进而得证.
试题解析:(1)令则有,所以有,有根据条件?可知,故.(也可令
方法一:设,则有,即为增函数(严格来讲为不减函数),所以,故.
方法二:不妨令,所以由?,即增函数(严格来讲为不减函数),所以,故.
(3)当,有,又由?可知,所以有对任意的恒成立.当,又由?可知,所以有对任意的恒成立.综上,对任意的时,恒有.
考点:1.抽象函数求值和单调性;2.证明不等式.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

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函数
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已知函数.
(Ⅰ)若时,求的值域;
(Ⅱ)若存在实数,当时,恒成立,求实数的取值范围.

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已知
(1)当时,求函数的不动点;
(2)若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;
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张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润(元)与年产量(吨)满足函数关系.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场元(以下称为赔付价格).
(Ⅰ)将工厂的年利润(元)表示为年产量(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量;
(Ⅱ)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格是多少?

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已知,当时,
(1)证明:
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