已知函数.
(Ⅰ)若时,求的值域;
(Ⅱ)若存在实数,当时,恒成立,求实数的取值范围.
(I)的值域为:.(II).
解析试题分析:(I)将二次函数配方,结合抛物线的图象便可得的值域.
(II)由恒成立得:恒成立,
令,则只需的最大值小于等于0.
由此得:,令
则原题可转化为:存在,使得.这又需要时.接下来又对二次函数分情况讨论,从而求出实数的取值范围.
试题解析:(I)将二次函数配方得: 2分
该函数的图象是一条开口向上的抛物线,顶点为,.
因为,所以最大值为,
∴的值域为: 6分
(II)由恒成立得:恒成立,
令,因为抛物线的开口向上,所以,由恒成立知: 8分
化简得: 令
则原题可转化为:存在,使得 即:当, 10分
∵,的对称轴:
即:时,
∴解得:
②当 即:时,
∴解得:
综上:的取值范围为: 13分
法二:也可,
化简得: 有解.
,则.
考点:1、二次函数;2、函数的最值;3、解不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于万元,同时不超过投资收益的.
(1)设奖励方案的函数模型为,试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
①; ②
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
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