Question

9．已知函数$f（x）=lnx+\frac{1}{2x}$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-m．若函数g（x）在区间$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一个零点，求实数m的取值范围（注：e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为m=f（x）在区间$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一个交点，求出f（x）在区间$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上的范围，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{2x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增；
（Ⅱ）若函数g（x）在区间$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一个零点，
即m=f（x）在区间$[{\frac{1}{e}\;，\;1}]$上有且只有一个交点，
由（Ⅰ）f（x）在[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1]递增，
故f（x）的最小值是f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，而f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{e}{2}$-1＜f（1）=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{e}{2}$-1＜m≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．