Question

18．已知椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在x轴上，从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录于表中：

x	$-\sqrt{2}$	2	$\sqrt{6}$	9
y	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{2}$	-1	3

（1）求椭圆C₁和抛物线C₂的标准方程；
（2）过椭圆C₁右焦点F的直线l与此椭圆相交于A，B两点，点P（4，0），设$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}，λ∈[{-2，-1}]$，求$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|$取最大值时，直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），据此验证（2，-$\sqrt{2}$）、（9，3）在抛物线上，易求C₂：y²=x，
设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$+=1，a＞b＞0，把点（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{6}$，-1）代入方程，能够求出C₁方程．
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$|取最大值时，直线l的斜率．

解答 解：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），据此验证（2，-$\sqrt{2}$）、（9，3）在抛物线上，易求C₂：y²=x，
设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$+=1，a＞b＞0，把点（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{6}$，-1）代入方程得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=4}\end{array}\right.$
∴C₁方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由题意容易验证直线l的斜率不为0，由右焦点F（2，0），
故可设直线l的方程为x=ky+2，代入椭圆C₁方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
得（k²+2）y²+4ky-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数关系，
得y₁+y₂=-$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$①，y₁y₂=-$\frac{4}{{k}^{2}+2}$②，
 由$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}，λ∈[{-2，-1}]$，所以$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=λ且λ＜0，
所以将上式①的平方除以②，得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2=-\frac{4{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$．即$λ+\frac{1}{λ}=-\frac{4{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
由λ∈[-2，-1]，可得-$\frac{5}{2}≤λ+\frac{1}{λ}≤-2$，⇒$-\frac{1}{2}≤-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+2}≤0$，⇒0≤k²≤$\frac{2}{7}$．
∵$\overrightarrow{PA}$=（x₁-4，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-4，y₂），$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（x₁+x₂-8，y₁+y₂），
x₁+x₂-8=k（y₁+y₂）-4=-$\frac{2+8{K}^{2}}{2+{K}^{2}}$，
|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$|²=（x₁+x₂-8）²+（y₁+y₂）²=$\frac{64{k}^{4}+48{k}^{2}+4}{（2+{k}^{2}）^{2}}$
令t=$\frac{1}{2+{k}^{2}}$，则${\overrightarrow{PA}}^{2}$=164t²-208t+64，
∵0≤k²≤$\frac{2}{7}$．∴$\frac{7}{16}≤t≤\frac{1}{2}$，则f（t）=164t²-208t+64的对称轴为t=$\frac{26}{41}＞\frac{1}{2}$．
则f（t）在[$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$]递减，即有t=$\frac{7}{16}$，|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$|取得最大值，
此时k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$，直线l的方程为x=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$y+2．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法、向量知识的运用，韦达定理，及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，考查计算能力，属于难题