Question

6．若直线l与椭圆$C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$交于A，B两点，若A，B中点坐标为（1，1），则弦AB的垂直平分线方程为5x+9y-14=0．

Answer 1

分析 设以（1，1）为中点的弦交椭圆$C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入5x²+9y²=45，得5x₁²+9y₁²=45…①5x₂²+9y₂²=45…②，①-②，得5（x₁-x₂）+9（y₁-y₂）=0，求得k即可．

解答 解：设以（1，1）为中点的弦交椭圆$C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入5x²+9y²=45，得
5x₁²+9y₁²=45…①5x₂²+9y₂²=45…②
①-②，得5（x₁-x₂）+9（y₁-y₂）=0，
k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{5}{9}$，
∴此弦所在的直线方程为y-1=-$\frac{5}{9}$（x-1），
即5x+9y-14=0．
故答案为：5x+9y-14=0．

点评 本题考查椭圆的性质和应用，点差法的合理运用，属于基础题．