Question

3．已知圆C的方程为（x+a）²+y²=16，F点坐标为（-6，0），过点F且斜率k=1的直线与圆相交所得的弦长为2$\sqrt{14}$．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆心在点F的右侧，在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求出圆心坐标，写出过点F且斜率为1的直线方程，再由已知得圆心到直线的距离，代入点到直线的距离公式求得a值，即可求得圆C的方程；
（2）设出P的坐标，利用两点间的距离公式，利用条件$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）圆C：（x+a）²+y²=16的圆心坐标C（-a，0），半径为4，
过F（-6，0），且斜率k=1的直线方程为y=1×（x+6），又直线被圆所截得的弦长为2$\sqrt{14}$，
∴圆心C（-a，0）到直线x-y+6=0的距离d=$\sqrt{2}$．
则d=$\frac{|-a+6|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，解得a=4或a=8．
∴圆C的方程为（x+4）²+y²=16或（x+8）²+y²=16；
（2）∵圆心在点F的右侧，∴圆C的方程为（x+4）²+y²=16．
设P（s，t），G（x₀，y₀），则由$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$，得
$\frac{\sqrt{（{x}_{0}+6）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{0}-s）^{2}+（{y}_{0}-t）^{2}}}=\frac{1}{2}$，整理得$3（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）$+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，①
又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$+8x₀=0，②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，
又由G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知$\left\{\begin{array}{l}{2s+24=0}\\{2t=0}\\{144-{s}^{2}-{t}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得s=-12，t=0，
∴在平面上存在一定点P，其坐标为（-12，0），使得对圆C上任意的点G有$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆的应用，利用直线和圆相交的弦长公式以及两点间的距离公式解决本题的关键，是中档题．