Question

【题目】如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，左准线：和右准线：分别与轴相交于、两点，且、恰好为线段的三等分点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点作直线与椭圆相交于、两点，且满足，当△的面积最大时（为坐标原点），求椭圆的标准方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）根据、恰好为线段的三等分点，得，即，解得离心率（2）根据离心率可设椭圆方程为．利用OD为定值表示三角形面积，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理表示面积，分离利用基本不等式求最值，确定，最后根据得，求出，解出

试题解析：（1）焦点，右准线：，由题知，

即，即，解得．

（2）由（1）知，得，，可设椭圆方程为．

设直线的方程为，代入椭圆的方程有，，

因为直线与椭圆相交，所以，

由韦达定理得，，又，所以，

得到，，，得到，

所以，

当且仅当时，等号成立，此时，代入满足w，

所以所求椭圆方程为．