Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．
（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．

解答 解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，$\frac{1}{2}$，1），…（2分）
$\overrightarrow{CE}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{-1-2}{\sqrt{\frac{9}{4}}•\sqrt{5}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CE与PD所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（4分）
（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$，
∴F（λ，λ，-2λ），$\overrightarrow{BF}$=（λ，λ-1，2-2λ），
又$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{CE}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，1）．
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$为平面CDE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x-\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），…（6分）
设直线BF与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2-λ}{\sqrt{{λ}^{2}+（λ-1）^{2}+（2-2λ）^{2}}-\sqrt{2}}$=$\frac{2-λ}{\sqrt{2}•\sqrt{6{λ}^{2}-10λ+5}}$，…（8分）
令t=2-λ，则t∈[1，2]，∴sinθ=$\frac{t}{\sqrt{2}•\sqrt{6{t}^{2}-14t+9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{{t}^{2}}-\frac{14}{t}+6}}$，
当$\frac{1}{t}=\frac{7}{9}$，即t=$\frac{9}{7}$∈[1，2]时，$\frac{9}{{t}^{2}}-\frac{14}{t}+6$有最小值$\frac{5}{9}$，此时sinθ取得最大值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
即BF与平面CDE所成的角最大，此时$λ=2-t=2-\frac{9}{7}$=$\frac{5}{7}$，即λ的值为$\frac{5}{7}$． …（10分）

点评 本题考查线线面的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．