Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，点在椭圆上，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动直线交椭圆于， 两点， 是椭圆上一点，直线的斜率为，且， 是线段上一点，圆的半径为，且，求

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上，且离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 ，即可得椭圆的标准方程；（2），联立方程，由韦达定理、弦长公式可得的值，从而可得，再利用两点间距离公式可得，于是，进而可得结果.

试题解析：（1）因为在椭圆上，所以.

又，联立方程组,故椭圆的标准方程为

（2）设， ，联立方程.

由，得，且， ，

所以

.

由题意可知圆的半径.

由题设知，因此直线的方程为.

联立方程因此.

所以

.

因为，所以，从而有，即得.

因此的取值范围为.