Question

17．已知数列{a_n}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有（a₁+a₂+a₃+…+a_n）²=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃（请写出所有可能的结果）；
（2）是否存在满足条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₇=-2016？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；
（3）记a_n点所有取值构成的集合为A_n，求集合A_n中所有元素之和（结论不要证明）．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推式，n分别取1，2，3，代入计算，即可得到结论；
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*）．可得再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的任一项a_n与它的前一项a_n-1间的递推关系；利用a₁=1，a₂₀₁₇=-2016，所以无穷数列{a_n}的前2016项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2016项开始组成首项为-2016，公比为-1的等比数列，从而可得数列的通项．
（3）根据递推式得出A_n的所有元素规律，利用归纳法得出结论．

解答 解：（1）当n=1时，a₁³=a₁²，由a₁≠0得a₁=1．
当n=2时，1+a₂³=（1+a₂）²，由a₂≠0得a₂=2或a₂=-1．
当n=3时，1+a₂³+a₃³=（1+a₂+a₃）²，若a₂=2得a₃=3或a₃=-2；若a₂=-1得a₃=1；
综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3或1，2，-2或1，-1，1．
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，则S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*）．
从而（S_n+a_n+1）2=a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³，
两式相减，结合a_n+1≠0，得2S_n=a_n+1²-a_n+1．
当n=1时，由（1）知a₁=1；
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（a_n+1²-a_n+1）-（a_n²-a_n），即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1．
又a₁=1，a₂₀₁₇=-2016，所以无穷数列{a_n}的前2016项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2016项开始组成首项为-2016，公比为-1的等比数列．
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，1≤n≤2016}\\{（-1）^{n}•2016，n＞2016}\end{array}\right.$．
（3）由（2）可知a₁=1，a_n=-a_n-1或a_n=a_n-1+1（n≥2），
故A₁={1}，A₂={-1，2}，A₃={1，-2，3}，A₄={-1，2，-3，4}，…
∴当n为奇数时，A_n的所有元素之和为1+3+5+…+n-（2+4+6+…n-1）=$\frac{1+n}{2}•\frac{n+1}{2}$-$\frac{n+1}{2}•\frac{n-1}{2}$=$\frac{n+1}{2}$，
当n为偶数时，A_n的所有元素之和为2+4+6+…+n-（1+3+5+…+n-1）=$\frac{n+2}{2}•\frac{n}{2}$-$\frac{n}{2}•\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$．

点评 本题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识．