Question

6．如图，已知过抛物线E：x²=4y的焦点F的直线交抛物线E与A、C两点，经过点A的直线l₁分别交y轴、抛物线E于点D、B（B与C不重合），∠FAD=∠FDA，经过点C作抛物线E的切线为l₂．
（Ⅰ）求证：l₁∥l₂；
（Ⅱ）求三角形ABC面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AF的方程为：y=kx+1．设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（不妨设x₂＞0）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0，⇒x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由∠FAD=∠FDA，得AF=DF，y_D=y₁+2．即可得k₁=k₂，可证l₁∥l₂．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线l₁的斜率为$\frac{1}{2}{x}_{2}$，故直线l₁的方程为：$y=\frac{1}{2}{x}_{2}x+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+2$
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{2}x+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+2}\end{array}\right.$得${x}^{2}-2{x}_{2}x-{{x}_{1}}^{2}-8=0$
AB=$\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{B}}$=2$\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$，
点C到直线l₁的距离为d=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}}$，三角形ABC面积s=$\frac{1}{2}×AB×d$=$\frac{1}{4}（{x}_{2}-{x}_{1}）^{3}$，由（Ⅰ）可得${x}_{2}-{x}_{1}=4\sqrt{{k}^{2}+1}$，可得当k=0时，三角形ABC面积s=$\frac{1}{2}×AB×d$=$\frac{1}{4}（{x}_{2}-{x}_{1}）^{3}$取最小值．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵抛物线E：x²=4y的焦点F为（0，1），且直线AF的斜率一定存在，
故设AF的方程为：y=kx+1．
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（不妨设x₂＞0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0，⇒x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，${y}_{1}+\frac{p}{2}={y}_{D}-1$，∴y_D=y₁+2．
∴直线l₁的斜率为k₁=$\frac{{y}_{D}-{y}_{1}}{{x}_{D}-{x}_{1}}=\frac{2}{-{x}_{1}}$，
∵x₁x₂=-4，∴${k}_{1}=\frac{2}{-{x}_{1}}=\frac{1}{2}{x}_{2}$
又∵$y′=\frac{1}{2}x$，∴过C（x₂，y₂）的切线斜率${k}_{2}=\frac{1}{2}{x}_{2}$．
即k₁=k₂，∴l₁∥l₂．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线l₁的斜率为$\frac{1}{2}{x}_{2}$，故直线l₁的方程为：$y=\frac{1}{2}{x}_{2}x+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+2$
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{2}x+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+2}\end{array}\right.$得${x}^{2}-2{x}_{2}x-{{x}_{1}}^{2}-8=0$，
∴x₁+x_B=2x₂，${x}_{1}{x}_{B}=-（{{x}_{1}}^{2}+8）$．
∴AB=$\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{B}}$=2$\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$，
点C到直线l₁的距离为d=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+2}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}+\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}+2}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+8）}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{4}[（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+8]}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}}$
三角形ABC面积s=$\frac{1}{2}×AB×d$=$\frac{1}{4}（{x}_{2}-{x}_{1}）^{3}$
由（Ⅰ）可得${x}_{2}-{x}_{1}=4\sqrt{{k}^{2}+1}$，所以当k=0时（x₂-x₁）_min=4，
∴当k=0时，三角形ABC面积s=$\frac{1}{2}×AB×d$=$\frac{1}{4}（{x}_{2}-{x}_{1}）^{3}$取最小值，（s）_min=$\frac{1}{4}×{4}^{3}=16$．

点评 本题考查了抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系，方程思想、转化思想，属于中档题．