Question

11．（1）已知直线l的方程为ax-y+2+a=0（a∈R），求证：不论a为何实数，直线l恒过一定点P；
（2）过（1）中的点P作一条直线m，使它被直线l₁：4x+y+3=0和l₂：3x-5y-5=0截得的线段被点P平分，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）把已知方程变形为a（x+1）-y+2=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{-y+2=0}\end{array}\right.$求得x，y值，得点的坐标，代入方程验证成立即可；
（2）设直线m与已知直线l₁，l₂分别交于A、B两点，由点A在直线l₁：4x+y+3=0上设出A的坐标（t，-4t-3），再由中点坐标公式得B的坐标，把B的坐标代入直线l₂：3x-5y-5=0求得t值，进一步得到A，B的坐标，由直线方程的两点式求得直线m的方程．

解答 （1）证明：由ax-y+2+a=0，得a（x+1）-y+2=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{-y+2=0}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=2．
把点（-1，2）代入ax-y+2+a=0，有-a-2+2+a=0．
∴直线ax-y+2+a=0恒过一定点P（-1，2）；
（2）解：设直线m与已知直线l₁，l₂分别交于A、B两点．
∵点A在直线l₁：4x+y+3=0上，
故可设A（t，-4t-3），又P（-1，2）是AB的中点，
由中点坐标公式得B（-t-2，4t+7）．
∵B点在直线l₂：3x-5y-5=0上，
∴3（-t-2）-5（4t+7）-5=0，解得t=-2．
∴A（-2，5），B（0，-1），
由两点式得直线方程为：3x+y+1=0．

点评 本题考查直线系方程的应用，考查了利用待定系数法求直线方程，是中档题．