Question

3．已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． sin（α+β）＜sinα+sinβ
• B． sin（α+β）＞sinα+sinβ
• C． cos（α+β）＜sinα+sinβ
• D． cos（α+β）＞cosα+cosβ

Answer 1

分析 根据两角和的正弦、余弦公式即可得到结论．

解答 解：∵已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
∴0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，
∴sin（α+β）＜sinα+sinβ成立，故A正确．
由于sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ，
故B不正确．
由于cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它小于sinα+sinβ，
故C错误．
由于cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ，
故D错误．
故选：A．

点评 本题主要考查两角和的正弦、余弦公式的应用，以及利用正弦函数和余弦函数的有界性是解决本题的关键，属于中档题．