Question

14．已知△ABC的顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，$AB=BC=AC=\sqrt{3}$，则球O的体积是（　　）

• A． $\frac{16}{3}π$
• B． 16π
• C． $\frac{32}{3}π$
• D． 32π

Answer 1

分析 首先求出底面△ABC所在圆的半径r，结合条件和球的截面的性质和R²=r²+d²，求得R，再由球的体积公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得底面△ABC所在圆的半径为r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
球心O到平面ABC的距离为d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
且R²=r²+d²=1+$\frac{3}{4}$R²，
可得R=2，
则球O的体积是$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{32}{3}$π．
故选：C．

点评 本题考查球的体积的求法，注意运用球的截面的性质，勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．