Question

20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，acosC=c（2-cosA），则cosB=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理可得a=b=2c，进而利用余弦定理可求cosB的值．

解答 解：∵acosC=c（2-cosA），
∴acosC+ccosA=2c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinC，
∴sinB=sin（A+C）=2sinC，
∴b=2c，由a=b，可得a=b=2c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{c}^{2}}{2c•2c}$=$\frac{1}{4}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．