Question

19．已知sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，且0＜x＜π．
（1）求sin2x；
（2）求sinx-cosx；
（2）求sin³x-cos³x．

Answer 1

分析 （1）把已知等式两边平方即可求得sin2x；
（2）由（1）中求得的sinxcosx＜0，且0＜x＜π，可得sinx-cosx＞0，求出（sinx-cosx）²后开方得答案；
（3）直接展开立方差公式求解．

解答 解：（1）∵$sinx+cosx=\frac{1}{5}$，两边平方得：${sin^2}x+2sinxcosx+{cos^2}x=\frac{1}{25}$，
∴$2sinxcosx=-\frac{24}{25}$，即$sin2x=-\frac{24}{25}$；
（2）$（sinx-cosx{）^2}={sin^2}x+{cos^2}x-2sinxcosx=1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，
∵sinxcosx＜0，而0＜x＜π，∴sinx＞0，cosx＜0，
∴sinx-cosx＞0，则$sinx-cosx=\frac{7}{5}$；
（3）sin³x-cos³x=（sinx-cosx）（sin²x+sinxcosx+cos²x）=$\frac{7}{5}（1-\frac{12}{25}）=\frac{91}{125}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，由已知条件判断出sinx＞0，cosx＜0是解答该题的关键，是中档题．