Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图像上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=﹣3x+1．
（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，

函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，

∴f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，

又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．

∵函数f（x）在x=﹣2时有极值，

∴f′（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，

联立 ，

解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，

∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3

（2）解：∵函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，

∴导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，

则 ，

解得b≥4，

∴实数b的取值范围为[4，+∞）

【解析】（1）f′（x）=﹣3x2+2ax+b，由函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，可得f′（1）=﹣3；又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2；由函数f（x）在x=﹣2时有极值，可得f′（﹣2）=0，联立解得即可．（2）由于函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，可得导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，因此 ，解得即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．