Question

若曲线Γ上的点P（x，y）到点F（1，0）的距离与它到x=4的距离之比为

1

2

．
（1）求出P点的轨迹方程
（2）过F（1，0）作直线l与曲线Γ交于A，B两点，曲线Γ与x轴正半轴交于Q点，若△QAB的面积为

12

13

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得等式

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，整理后即可得到P点的轨迹方程；
（2）设出过F（1，0）的直线的方程为x=ty+1，A，B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点的纵坐标的和与积，代入三角形的面积公式求得t的值，则直线方程可求．

解答： 解：（1）由题意知：

|PF|

|4-x|

=

1

2

，即

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，
整理得：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴P点的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，化简得：（3t²+4）y²+6ty-9=0．
y1+y2=

-6t

3t2+4

，y1y2=

-9

3t2+4

，
S△QAB=

1

2

|QF||y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

．
∵S△QAB=

12

13

，
∴

6 t2+1

3t2+4

=

12

13

，
解得：t=±

3

．
∴直线的方程为x+

3

y-1=0或x-

3

y-1=0；

点评：本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．