Question

2．在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+5，n∈N₊．
（1）证明：数列{a_n+5}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2a_n+5，n∈N₊，变形为a_n+1+5=2（a_n+5），利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+5=8×2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺²-5．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+5，n∈N₊，∴a_n+1+5=2（a_n+5），a₁+5=8．
∴数列{a_n+5}是等比数列，首项为8，公比为2．
（2）解：由（1）可得：a_n+5=8×2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺²-5．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²-5n
=$\frac{8（{2}^{n}-1）}{2-1}$-5n=2ⁿ⁺³-8-5n．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．