【题目】已知函数.
(1)函数,讨论的单调性;
(2)函数()的图象在点处的切线为,证明:有且只有两个点使得直线与函数的图象也相切.
【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2)证明见解析.
【解析】
(1)先对求导,然后对a分类讨论,求出单调区间即可;
(2)设(),可求出直线的方程为:,假设直线与的图象也相切,切点为,所以直线的方程也可以写作为:,又因为斜率相等可得,即,由此可得,令(),然后结合零点存在性定理证明即可.
(1)(),所以,
①当即时:在上单调递增;
②当即时:令有:,
所以:在单调递减,在上单调递增;
(2)设(),
,所以:,
所以直线的方程为:,即:,①
假设直线与的图象也相切,切点为,
因为,所以:,
所以直线的方程也可以写作为:,
又因为,即:,
所以直线的方程为:,即:,②
由①②有:,即:,
令(),
所以,
令,得:,
所以:在上单调递减,在上单调递增,
所以:,
又因为:当时,;当时,,
所以:在有且只有两个实数根,
所以有且只有两个点使得直线与函数的图象也相切.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.
(1)求的普通方程;
(2)设为圆上任意一点,求的最大值.
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【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族,己知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中,感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有份需检验血液.
(1)假设这份需检验血液有且只有一份为阳性,从中依次不放回的抽取份血液,已知前两次的血液均为阴性,求第次出现阳性血液的概率;
(2)现在对份血液进行检验,假设每份血液的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,据统计每份血液是阳性结果的概率为,现在有以下两种检验方式:方式一:逐份检验;方式二:混合检验,将份血液分别取样混合在一起检验(假设血液混合后不影响血液的检验).若检验结果为阴性,则这份血液全为阴性,检验结束;如果检验结果为阳性,则这份血液中有为阳性的血液,为了明确这份血液究竟哪几份为阳性,就要对这份再逐份检验.从检验的次数分析,哪一种检验方式更好一些,并说明理由.参考数据:.
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【题目】已知圆M:,直线l:()过定点N,点P是圆M上的任意一点,线段的垂直平分线和相交于点Q,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)直线l交C于A,B两点,D,B关于x轴对称,直线与x轴交于点E,且点D为线段的中点,求直线l的方程.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设P(0,-1),直线l与C的交点为M,N,线段MN的中点为Q,求.
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【题目】近年来,某市立足本地丰厚的文化旅游资源,以建设文化旅游强市,创建国家全域旅游示范市为引领,坚持以农为本,以乡为魂,以旅促农,多元化推动产业化发展,文化和旅游扶贪工作卓有成效,精准扶贫稳步推进.该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况,绘制了如图所示的柱状图.则下列说法错误的是( )
0
A.乡村游人数逐年上升
B.相比于前一年,2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率
C.近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数
D.从2016年开始,乡村游人数明显增多
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【题目】某蛋糕店制作并销售一款蛋糕,制作一个蛋糕成本4元,且以9元的价格出售,若当天卖不完,剩下的则无偿捐献给饲料加工厂.根据以往100天的资料统计,得到如表需求量表:
需求量/个 | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
天数 | 15 | 25 | 30 | 20 | 10 |
该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X(X∈N)个,以x(单位:个,100≤x≤150,x∈N)表示当天的市场需求量,T(单位:元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润.
(1)当x=135时,若X=130时获得的利润为T1,X=140时获得的利润为T2,试比较T1和T2的大小;
(2)当X=130时,根据上表,从利润T不少于560元的天数中,按需求量分层抽样抽取6天.
(i)求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式,并求这6天中利润为650元的天数;
(ii)再从这6天中抽取3天做进一步分析,设这3天中利润为650元的天数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
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