【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.
(1)求的普通方程;
(2)设为圆上任意一点,求的最大值.
【答案】(1)();(2).
【解析】
(1)消元法消去参数得的普通方程,同理表示的普通方程,最后将其消去整理后可得答案;
(2)由椭圆的参数方程表示其上任意点的坐标,由两点间的距离公式表示,再由三角函数求的值域确定最大值,最后开方即可.
解法一:(1)消去参数得的普通方程为,
消去参数得的普通方程为.
联立消去得,
所以的普通方程为().
(2)依题意,圆心的坐标为,半径.
由(1)可知,的参数方程为(为参数,且),
设(),则
,
当时,取得最大值,
又,当且仅当三点共线,且在线段上时,等号成立.
所以.
解法二:(1)消去参数得的普通方程为,
消去参数得的普通方程为.
由得
故的轨迹的参数方程为(为参数),
所以的普通方程为().
(2)同解法一.
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【题目】已知函数
(1)当x∈[0,π]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(参考数据:sin1≈0.84)
(2)当a=1时,数列{an}满足:0<an<1,=f(an),求证:{an}是递减数列.
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【题目】某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:,,,,,,后得到如图的频率分
布直方图.
(1)求图中实数的值;
(2)若该校高一年级共有学生1000人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数.
(3)若从样本中数学成绩在,与,两个分数段内的学生中随机选取2名学生,试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率.
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【题目】(13分)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足(如图所示).
(Ⅰ)求得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知一块边长为4的正方形铝板(如图),请设计一种裁剪方法,用虚线标示在答题卡本题图中,通过该方案裁剪,可焊接做成一个密封的正四棱柱(底面是正方形且侧棱垂于底面的四棱柱),且该四棱柱的全面积等于正方形铝板的面积(要求裁剪的块数尽可能少,不计焊接缝的面积),则该四棱柱外接球的体积为________.
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【题目】已知椭圆C:的右顶点为A,左焦点为,过点A的直线与椭圆C的另一个交点为B,轴,点在直线上.
(I)求的面积;
(II)过点S的直线与椭圆C交于P,Q两点,且的面积是的面积的6倍,求直线的方程.
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【题目】已知函数
(1)若函数在区间上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当,()时,求证:;
(3)若函数有两个极值点,,求证:(e为自然对数的底数)
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