Question

【题目】已知函数

（1）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；

（2）当，（）时，求证：；

（3）若函数有两个极值点，，求证：（e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

(1)由题意可知在上恒成立，通过参变分离可知恒成立，结合导数可求出的最大值，从而可求出实数a的取值范围.

(2)由(1)可知，从而可知，结合累加法可知，进而可证出.

(3)由题意可知有两个相异实根，，进而可知，结合导数证明在成立，从而可知，进而可知.

解：(1)，若函数在区间上单调递减，

则在上恒成立，即在上恒成立，

即区间上恒成立，所以.

令，则，

因为，所以，所以，在上单调递减，

所以，故，所以实数a的取值范围a.

(2)由(1)可知，当时，函数在区间上单调递减，

所以，当时，，则当时有，

即.因为当时，所以时，

，，

，……，，

所以

，

即，所以.

(3)若函数有两个极值点，，不妨设，

即有两个相异实根，，且.

从而有，将上两式相加得：.

将上两式相减得：，从而，

即，即得，

要证明，也就是证明，即，

也就是证明，令，只需证明，

由，知，因此只需证明

令，则，

所以在区间上单调递增，又因为，

因此在区间上恒成立.

所以，当时，成立，所以有成立，从而.