Question

19．已知过双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点F₂作圆x²+y²=a²的切线，交双曲线的左支于点A，且AF₁⊥AF₂，则双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF₁=2a，由双曲线的定义，可得AF₂=2a+AF₁=4a，再由勾股定理，可得c²=5a²，由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设切点为M，连接OM，
可得OM⊥AF₂，
AF₁⊥AF₂，可得AF₁∥OM，
且OM=a，AF₁=2a，
由双曲线的定义，可得AF₂=2a+AF₁=4a，
在直角三角形AF₁F₂中，
AF₁²+AF₂²=F₁F₂²，
即为4a²+16a²=4c²，
即有c²=5a²，
可得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查运算能力，属于中档题．