Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线与双曲线的左支交于M点，且满足（$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知（$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，则△MF₁F₂为等腰三角形，则丨MF₁丨=丨F₁F₂丨=2c，由直线的倾斜角的对顶角相等，则∠F₁F₂D=$\frac{π}{6}$，求得丨MF₂丨，丨MF₁丨，利用双曲线的定义，即可求得a和c的关系，求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：取MF₂得中点D，连接MF₁，
由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，
则由2$\overrightarrow{{F}_{1}D}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
则$\overrightarrow{{F}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，
∴△MF₁F₂为等腰三角形，则丨MF₁丨=丨F₁F₂丨=2c，∠F₁F₂D=$\frac{π}{6}$，
则丨F₂D丨=丨F₁F₂丨cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$c，
丨MF₂丨=2丨F₂D丨=2$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可知：丨MF₂丨-丨MF₁丨=2a，即a=（$\sqrt{3}$-1）c，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查向量的运算，考查数形结合思想，属于中档题．