Question

5．过抛物线C：y²=4x焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=（　　）

• A． 36
• B． 40
• C． 50
• D． 52

Answer 1

分析 由抛物线焦点弦公式可知丨CP丨=3，利用余弦定理，分别求得丨$\overrightarrow{PA}$丨²和丨$\overrightarrow{PB}$丨²，则丨$\overrightarrow{PA}$丨²+丨$\overrightarrow{PB}$丨²=32+2丨$\overrightarrow{PC}$丨²=50．

解答 解：抛物线C：y²=4x焦点（1，0），设AB的中点C，
由抛物线的焦点弦公式可知丨AB丨=2丨CP丨+2p，
则丨CP丨=3，
由余弦定理可知：丨$\overrightarrow{PA}$丨²=丨$\overrightarrow{AC}$丨²+丨$\overrightarrow{PC}$丨²-2丨$\overrightarrow{AC}$丨丨$\overrightarrow{PC}$丨cos∠ACP，
即丨$\overrightarrow{PA}$丨²=4²+丨$\overrightarrow{PC}$丨²-2×4丨$\overrightarrow{PC}$丨cos∠ACP，
同理可得：丨$\overrightarrow{PB}$丨²=4²+丨$\overrightarrow{PC}$丨²-2×4丨$\overrightarrow{PC}$丨cos∠BCP，
由∠ACP+∠BCP=π，则cos∠BCP=-cos∠ACP，
∴丨$\overrightarrow{PA}$丨²+丨$\overrightarrow{PB}$丨²=32+2丨$\overrightarrow{PC}$丨²=50，
∴丨$\overrightarrow{PA}$丨²+丨$\overrightarrow{PB}$丨²=50，
故选C．

点评 本题考查抛物线的焦点弦公式，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．