Question

19．已知p：?x＞0，e^x-ax＜1成立，q：函数f（x）=-（a-1）^x是减函数，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 利用导数研究p的单调性可得a＞0．q：函数f（x）=-（a-1）^x是减函数，则a-1＞1，解得a＞2．即可判断出结论．

解答 解：p：?x＞0，e^x-ax＜1成立，则a$＞\frac{{e}^{x}-1}{x}$，令f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，则f′（x）=$\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$．
令g（x）=e^xx-e^x+1，
则g（0）=0，g′（x）=xe^x＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0．
q：函数f（x）=-（a-1）^x是减函数，则a-1＞1，解得a＞2．
则p是q的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、复合函数与指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．